\chapter{第七周习题课}
\begin{introduction}
    \item 多元函数微分学和隐函数定理进阶
    \item 多元函数极值
    \item $Lagrange$乘数法
\end{introduction}

\section{隐函数定理进阶}
\begin{example}
    设函数 $z=z(x,y)$ 是由方程 $F\left(x+\frac{z}{y},y+\frac{z}{x}\right)=0$ 所确定的隐函数，证明：
$$
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z-xy.
$$
\end{example}
\begin{proof}
    对$F\left(x+\frac{z}{y},y+\frac{z}{x}\right)=0$ 关于 $x,y$ 分别求偏导数可得

$$
\begin{aligned}
    &F_1\left(1+\frac{z_x}y\right)+F_2\cdot\frac{z_xx-z}{x^2}=0\Longrightarrow\left(\frac1yF_1+\frac1xF_2\right)z_x=-F_1+\frac z{x^2}F_2;\\
    &F_1\cdot\frac{z_yy-z}{y^2}+F_2\left(1+\frac{z_y}x\right)=0\Longrightarrow\left(\frac1yF_1+\frac1xF_2\right)z_y=\frac z{y^2}F_1-F_2.
\end{aligned}
$$
从而
$$
(xz_x+yz_y)\left(\frac{1}{y}F_1+\frac{1}{x}F_2\right)=-xF_1+\frac{z}{x}F_2+\frac{z}{y}F_1-yF_2=(z-xy)\left(\frac{1}{y}F_1+\frac{1}{x}F_2\right).
$$

化简即得 $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z-xy.$
\end{proof}

\begin{example}
设 $z=z(x,y)$是由方程$$f(x+zy^{-1},y+zx^{-1})=0$$所确定的隐函数.计算$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}.$
\end{example}

\begin{solution}
    
    令$\xi=x+zy^{-1},\eta=y+zx^{-1}$.对式(4)的两边关于$x$求偏导数，得
$$
\frac{\partial f}{\partial\xi}\Big(1+\frac{\partial z}{\partial x}y^{-1}\Big)+\frac{\partial f}{\partial\eta}\Big(\frac{\partial z}{\partial x}x^{-1}-\frac z{x^2}\Big)=0.
$$
从上式解出$\frac{\partial z}{\partial x}$,得
\[
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial\xi}-\frac{\partial f}{\partial\eta}\frac z{x^2}}{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial\xi}\frac1y+\frac{\partial f}{\partial\eta}\frac1x}.
\]
用同样方法可以算得，
\[
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\eta}-\frac{\partial f}{\partial\xi}\frac z{y^2}}{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial\xi}\frac1y+\frac{\partial f}{\partial\eta}\frac1x}.
\]
\end{solution}

\begin{example}
    已知\(z=f(u,v)\)，其中\(u=2x+y,v=x^2\),求\(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}.\)
\end{example}
\begin{solution}
    首先，
    \[
    \begin{gathered}
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=2\frac{\partial z}{\partial u}+2x\frac{\partial z}{\partial v}; \\
{\frac{\partial z}{\partial y}}={\frac{\partial z}{\partial u}}{\frac{\partial u}{\partial y}}+{\frac{\partial z}{\partial v}}{\frac{\partial v}{\partial y}}={\frac{\partial z}{\partial u}}. 
\end{gathered}
    \]
    进而，
    \[
    \begin{aligned}
\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}& =2\left(\frac{\partial^{2}z}{\partial u^{2}}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^{2}z}{\partial u\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\right)+2x\left(\frac{\partial^{2}z}{\partial v\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^{2}u}{\partial v^{2}}\frac{\partial v}{\partial x}\right)+2\frac{\partial z}{\partial v}  \\
&=4\frac{\partial^{2}z}{\partial u^{2}}+8x\frac{\partial^{2}z}{\partial u\partial v}+4x^{2}\frac{\partial^{2}z}{\partial v^{2}}+2\frac{\partial z}{\partial v}; \\
\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}& =2\left(\frac{\partial^{2}z}{\partial u^{2}}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial^{2}z}{\partial u\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right)+2x\left(\frac{\partial^{2}z}{\partial v\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial^{2}z}{\partial v^{2}}\frac{\partial v}{\partial y}\right)  \\
&=2\frac{\partial^{2}z}{\partial u^{2}}+2x\frac{\partial^{2}z}{\partial u\partial v}.
\end{aligned}
    \]
\end{solution}
\begin{example}
    已知 $f(u,v)$ 存在 2 阶连续偏导数，且 $g(x,y)=xy-f(x+y,x-y)$,求
    \[
    \frac{\partial^2g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2g}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2g}{\partial y^2}.
    \]
\end{example}
\begin{solution}
由\(g(x,y)=xy-f(x+y,x-y)\)可知，
\[
\begin{aligned}g_x&=y-f_1-f_2;\\g_y&=x-f_1+f_2.\end{aligned}
\]，进而
\[
\begin{aligned}
    &g_{xx}=-(f_{11}+f_{12})-(f_{21}+f_{22})=-f_{11}-2f_{12}-f_{22};\\
    &g_{xy}=1-(f_{11}-f_{12})-(f_{21}-f_{22})=1-f_{11}+f_{22};\\
    &g_{yy}=-(f_{11}-f_{12})+(f_{21}-f_{22})=-f_{11}+2f_{12}-f_{22}.
\end{aligned}
\]
那么，
\[
g_{xx}+g_{xy}+g_{yy}=1-3f_{11}-f_{22}.
\]
\end{solution}
% 偏导数和Lagrange乘数法是一种求极值的强力工具，它是一种\textbf{通用解法}。无需奇淫巧技，便能解决许多初等数学中的问题，例如最小二乘法、均值不等式、切比雪夫不等式、赫尔德不等式.这种通用的解法更值得学习！

多元函数极值是求最大值最小值强有力的工具，而且相当无脑。学会这个技术，很多极值问题都能通过计算解决。
\section{求多元函数极值}
求二元函数极值依照如下的定理：
\begin{theorem}
    设($x_0,y_0)$是二元函数 $f$ 的一个驻点，$f$ 在($x_0,y_0)$的某个邻域内有连续的二阶偏导数.记
$$
a=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0),\quad b=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0),\quad c=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0),
$$
那么：
\begin{enumerate}[(1)]
    \item 当$ac-b^2{>}0$,且$a{>}0$ 时，$f$在$( x_0, y_0) $处有严格极小值；
    \item 当$ac-b^2{>}0$,且$a<0$ 时，$f$ 在$(x_0,y_0)$处有严格极大值；
    \item 当$ac-b^2{<}0$ 时，$f$ 在$(x_0,y_0)$处没有极值.
\end{enumerate}

\end{theorem}

\begin{remark}
    本质是判断\[
    A=\begin{bmatrix}
      a & b \\ b & c  
    \end{bmatrix}
    \]
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item 如果$A$是正定方阵，在\((x_0,y_0)\)处有极小值；
        \item 如果$A$是负定方阵，在\((x_0,y_0)\)处有极大值；
        \item 如果$A$是不定方阵，在\((x_0,y_0)\)处有没有极值.
    \end{enumerate}
\end{remark}



\begin{example}
    在闭的三角形 $D=\{(x,y):0\leqslant x,y,x+y\leqslant\pi\}$上，求函数$$f(x,y)=\sin x\sin y\sin(x+y)$$
的最大值和最小值.
\end{example}
\begin{example}
    求 $f(x,y)=2x^2+12xy+y^2$ 在
    $$D=\{(x,y)\big |(x,y)\in\mathbb{R}^2,x^2+4y^2\leqslant25\}$$
    上的最大值和最小值.
\end{example}

\begin{solution}

 $D$ 是分别以 $5$ 和 $5/2$ 为长、短半轴的闭椭圆. 先看$f$ 在椭圆内部有没有极值点. 方程组

$$
\begin{cases}\dfrac{\partial f}{\partial x}\:=\:4x\:+\:12y\:=\:0.\\[2ex]\dfrac{\partial f}{\partial y}\:=\:12x\:+\:2y\:=\:0\end{cases}
$$\label{eq:6.3.1}

只有$(x,y)=(0,0)$一个解，而这时

$$
\begin{aligned}
&a=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=4,\quad b=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=12,\quad c=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=2,\\
& ac-b^2=-136<0
\end{aligned}
$$
 

这说明 $f$ 在椭圆内部没有极值点，因此 $f$ 的最大值和最小值必在椭圆周上取到.这样问题就变成点$(x,y)$满足条件$x^2+4y^2=25$ 时求 $f$ 的最大值和最小值，这是一个条件极值问题.令

$$F(x,y)=2x^2+12xy+y^2+\lambda(x^2+4y^2-25)$$,
则有

这个方程组必有非零解，因而
\begin{align}
\begin{cases}\frac{\partial F}{\partial x}=(4+2\lambda)x+12y=0,\\ \\\frac{\partial F}{\partial y}=12x+(2+8\lambda)y=0.\end{cases} \label{eq:6.3.1}
\end{align}

得λ满足的二次方程
$4\lambda^2+9\lambda-34=0$,
解得

$$
\lambda_1=2,\quad\lambda_2=-\frac{17}4.
$$

把$\lambda_{1}=2$代人式 \ref{eq:6.3.1},得$x=-3y/2.$再代人$x^2+4y^2=25$,得$y=\pm2.$因此$x=\pm 3$，从而得可能取得条件极值的两点$(-3,2)$和$(3,-2)$.对应于$\lambda_{2}=-17/4$,可解得$(4,3/2)$和$(-4,-3/2)$,取得条件极值的点必在这四点中.通过比较：
$$
f(-3,2)=f(3,-2)=-50.
$$

即知 $f$ 在$D$ 中的最大值为 $425/4$,最小值为$-50$
\end{solution}

\begin{example}[ 最小二乘法]

给定平面上 $n$ 个数据点$(x_i,y_i)\quad(i=1,2,\cdots,n).$求一条直线 $y=ax+b$,使得偏差
$$
\sum_{i=1}^n(ax_i+b-y_i)^2
$$

最小.
\end{example}
\begin{proof}
    它的定义域是 R$^2$.对 $\varphi$ 关于$a,b$ 求偏导数，得到
$$
\varphi(a,b)=\sum_{i=1}^n(ax_i+b-y_i)^2,
$$

\begin{align}    
\frac{\partial\varphi}{\partial a}(a,b)=2\sum_{i=1}^n(ax_i+b-y_i)x_i=0,\label{eq:6.9.1}
\end{align}


\begin{align}    
\frac{\partial\varphi}{\partial b}(a,b)=2\sum_{i=1}^n(ax_i+b-y_i)=0.\label{eq:6.9.2}
\end{align}


由此得出关于$a,b$ 的线性代数方程组
\begin{align}
\begin{cases}(\sum_{i=1}^nx_i^2)a^2+(\sum_{i=1}^nx_i)b^2=\sum_{i=1}^nx_iy_i,\\(\sum_{i=1}^nx_i)a^2+nb^2=\sum_{i=1}^ny_i.\end{cases}\label{eq:6.9.3}
\end{align}
由 \(Cauchy-Schwarz\) 不等式,得
\[
\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}=\left(\sum_{i=1}^{n}1\cdot x_{i}\right)^{2}<\sum_{i=1}^{n}1^{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=n\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2},
\]
 
其中严格的不等号成立是因为$x_1,x_2,...,x_n$ 互不相等.由此可知，线性方程组的系数行列式不等于零，所以方程组有唯一的解，即有唯一的驻点.但是，这个驻点是不是极值点，是极大值点还是极小值点，还有待进一步研究. 这在目前的知识不容易判断，但是根据式 \ref{eq:6.9.1}, \ref{eq:6.9.2}，可以知道所求的直线方程为：
\[
\begin{vmatrix}x&y&1\\\sum_{i=1}^nx_i&\sum_{i=1}^ny_i&n\\\sum_{i=1}^nx_i^2&\sum_{i=1}^nx_iy_i&\sum_{i=1}^nx_i\end{vmatrix}=0,
\]

这恰恰就是高中背的回归直线方程.
\end{proof}

% \begin{example}

%     证明几何-算术均值不等式：设\(x_i\geq 0,i=1,2,\dots,n\)
%     \[
%     \left(x_1 x_2 x_3\cdots x_n\right)^{1/n}\leq \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}
%     \]
% \end{example}

\section{条件极值}

\begin{example}
    在$x,y,z>0$ 以及条件 $xyz=2$ 下，求函数$S(x,y,z)=2(xy+yz+zx)$
\end{example}

\begin{example}
 求二元函数 $f(x,y)=xy+2x$在有界区域
$$
D=\{(x,y)|\:x^2+y^2\leq2\}
$$
上的最大值和最小值
\end{example}

\begin{solution}

    由$\frac{\partial f}{\partial x}=y+2=0$ 以及$\frac{\partial f}{\partial y}=x=0$ 得驻点 $(0,-2)$,该驻点不在区域 $D$ 内. 考虑函数

$$
L(x,y,\lambda)=(xy+2x)+\lambda(x^2+\frac{y^2}2-2).
$$

由

$$
\begin{cases}L_x'=y+2+2\lambda x=0\\[2ex]L_y'=x+y\lambda=0\\[2ex]L_\lambda'=x^2+y^2/2-2=0\end{cases}
$$

解得 $\lambda^2=0$ 或者 $\frac32$,从而 $(x,y)=(0,-2)$ 或者 $(±\frac{\sqrt{6}}2,1)$. 代人 $f(x,y)$ 知道$f(0,-2)=0$ 以及 $f(\pm\frac{\sqrt6}2,1)=\pm\frac{3\sqrt6}2$.因此在 $D$ 上 $f(x,y)$ 的最小值是 $-\frac{3\sqrt{6}}{2}$,最
大值是 $\frac{3\sqrt{6}}{2}.$
\end{solution}
\vspace{1em}

\section{第七周作业}
\begin{enumerate}
    % \item 求下列函数的极值：\begin{enumerate}[(1)]
    %     \item \(f(x,y) =4(x-y)-x^{2}-y^{2}\)
    %     \item \(f(x,y) =x^2-3x^2y+y^3;\)
    %     \item \(f(x,y) =x^{2}+(y-1)^{2}\)
    %     \item \(f(x,y) =x^3+y^3-3xy\)
    % \end{enumerate}
    \item  设函数 $z=z(x,y)$ 是由方程 $F\left(x+\frac{z}{y},y+\frac{z}{x}\right)=0$ 所确定的隐函数，证明：$$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z-xy.$$
    \item 求函数 $f(x,y)=xy\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}(a>0,b>0)$ 的极值. 
    \item 限制点在圆周$$(x-1)^2+y^2=1$$上变化时，求函数 $f(x,y)=xy$ 的最小值和最大值.
    \item 在$x,y,z>0$ 以及条件 $xyz=2$ 下，求函数$S(x,y,z)=2(xy+yz+zx)$
    \item  在椭球$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$内嵌入有最大体积的长方体，问这长方体的尺寸如何？
\end{enumerate}

% \section{阅读材料}


% 设 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$是\(2\)阶连续可导的\(n\)元函数，\(f\)的定义域是凸区域.定义\(\mathrm{Hense}\)方阵为：
% \[
% Hf(a)=\begin{bmatrix}\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2}(a)&\cdots&\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n}(a)\\\vdots&&\vdots\\\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1}(a)&\cdots&\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2}(a)\end{bmatrix},
% \]

